Hallo
Es wäre nett wenn die Katze auf einen Chip vom Tierarzt untersucht wird - kommt ja häufiger vor das Katzen sich woanders einnisten und der Besitzer verzweifelt sucht... Sollte sich kein Halter finden und auch Tierheime, Tierärzte und "Gefunden" Anzeige keinen Erfolg bringen, also dass die Katze wirklich bleibt:
Könnten sich deine Tiere vllt daran gewöhnen und nicht mehr erschrecken
Wird die Katze vllt feststellen dass die Kaninchen doch nicht so interessant sind und gehen (aber auch immer wieder mal kommen).
Du könntest halbhohe Büsche, Plane, Holzverkleidung, Sichtschutznetz, Plastik etc um das Gehege anbringen. Dann sehen sich die Tiere nicht.
Für den Auslauf gilt aber Beobachtung wenn von oben nicht gesichert ist.
Oder du zäunst den ganzen Garten ein. Dann kommen aber auch Igel nicht mehr durch.

Das die Vogelpopulation zurück geht hängt mit fehlender Nahrung und Brutplätzen zusammen - nicht mit der Existenz von Katzen. Die gibt es nämlich schon länger Katzen sorgen für eine ganz normale Regulierung, der Schwächere, dümmere kann sich nicht fortpflanzen. Ist bei sehr seltenen Arten natürlich problematisch. Ich würde dir raten einen vogelfreundlichen Garten zu gestalten mit Nistkästen (so das die Katze nicht raus oder rankommt) und Futter und Wasser auf erhöhten Plätzen. Informiere dich bitte wegen dem Futter: Körnerfutter werden oft Baby Vögel gefüttert und die sterben daran. Im Frühling also Körnerfutter weg. Oder du lässt das Futter weg. Vögel fliegen weite Strecken und fangen viele Insekten in der Luft. Je nachdem.
Es gibt von der nabu auch ganz tolle Nistkästen wurden mir hier auch empfohlen

Was Katzen betrifft: ja manche (!) fangen und töten Kaninchen. Selbst wenn beide in der gleichen Gewichtsklasse sind. Haben sie erkannt dass diese beutetiere sind werden sie immer wieder Kaninchen angreifen. Muss nicht sein. Kann aber. Ich würde das Risiko nicht eingehen und die Kaninchen im Freilauf immer überwachen.