Hast Du den Strunk frisch angeschnitten, bevor Du ihn in das feuchte Handtuch gewickelt hast ? Du könntest ihn auch in Wasser stellen (auch hier natürlich frisch anschneiden).

Ich packe meinen immer wie ich ihn gekauft habe ins Gemüsefach im Kühlschrank und dann hält der auch 4-5 Tage.